求解变分不等式组的新的自适应投影算法
本文摘要：1.1背景讲解变分不等式所谓线性方程和非线性有序问题等一系列问题的推展,它在线性规划、网络经济、自动控制、信号与图像处理、滤波设计、经济科学、游戏理论,工程力学,系统辨识和数学规划等领域有普遍的应用于[15-18].在应用于数学中,变分不等式问题是一个非常最重要的研究课题,它不仅在非线性线性规划方面具备非常普遍的应用于,而且在力学、生物学、微分方程、工程学、经济平衡理论、对策论、社会和经济模型等方面都具有很好的应用于价值.特别是在是物理、数学和工程领域的很多问题都可以转化成为变分不等式问题来解决问题.它的明确提出使优化问题和平衡问题的研究获得了统一,并且在数学领域中作为大量数学问题实际解法的统一模型.变分不等式的广泛应用,对工程优化,经济学和交通运输的平衡问题以及数学各个领域,计算机科学等方面都做出了重大贡献.因变分不等式问题和各个领域的紧密联系,使得大量的数学工作者和经济学家对变分不等式问题的许多理论、方法、思想和技巧不作孜孜不倦的研究.近年来,关于变分不等式(VIP)的研究,在算法和理论两个方面都有很多的成果,其中算法多是借助计算机的MATLAB软件,用于各种技术和数值计算出来思想创建各种类型的明确的解法方法;而理论方面研究的则是对变分不等式的变形和推展,例如将变分不等式推展和改良为变分不等式组、拟变分不等式、单值、集值变分不等式、似变分不等式、隐变分不等式、白鱼-似变分不等式、向常态分不等式、随机变分不等式和其他各种类型的广义(或广义混合)变分不等式.投影算法是解决问题变分不等式问题的一种最重要工具.经典的变分不等式问题,由Stampacchia在1964年得出并展开了研究;同年Goldstein[5]也对变分不等式问题开始展开研究;1966年Levitin-Polyak[10]对变分不等式问题展开更进一步的研究;1966年Armijo[1]对解法非线性规划问题产生的步长准则不作了研究;1970年Martinet[11]明确提出附近点算法;1976年Rockafellar[14]得出了非准确附近点算法;1976年Korpelevich[8]在同构是广义单调的情况下明确提出外梯度投影算法;1976年Bertsekas[2]对解法非线性规划问题产生的步长准则再度不作了了解探究;1987年Khobotov[9]明确提出了一个简单的策略,设计了一个适合的步长,对Korpelevich[8]外梯度投影算法不作了更进一步的完备;1991年Güller[6]得出了Rockafellar算法中部分步骤在无限维Hilbert空间中非强劲发散的一个例子;1993年Dupuis和Nagurney[3]对Goldstein[5]和Levitin-Polyak[10]的投影算法展开改良,用于了一个预先要求的步长序列;1996年Nagurney和Zhang明确提出Nagurney-Zhang[13]投影算法;1998年Eckstein[4]认为准确解法附近点算法中的递归点十分困难,回应不作了更进一步的研究和改良;2002年He[7]改良Goldstein-Levitin-Polyak投影算法解法强劲单调变分不等式;在文献[26]中,王等明确提出了一种解法变分不等式的外梯度算法,并在此基础上得出了变分不等式解法的不存在性判断方法.近年来,变分不等式理论早已沦为研究线性和非线性问题的有力工具.一般变分不等式[21]是经典变分不等式的一种最重要推展,在科学领域中应用于普遍[22,23],受到人们更加多的注目.而变分不等式组问题是经典变分不等式问题的推展,2001年,Vema[27]引进并辩论了非线性变分不等式组问题,在算子T是强劲单调及Lipschitzian倒数的条件下,得出了一个基于投影技巧的隐式递归算法.广义集值混合变分不等式也是经典的变分不等式的一个最重要推展,2003年在文献[25]中首次引进并辩论了它.在变分不等式问题的研究中,最重要也是最艰难的是明确提出一种不切实际并且有效地的递归算法.对变分不等式的研究很多的学者利用许多方法和有所不同的技巧（如分解成方法、辅助原理、Wiener-Hopf方程、投影类方法等）明确提出解法一般变分不等式的许多算法[21,23, 24],例如:2002年,Noor[23]结构了另外一种搜寻方向并明确提出了新的投影算法.在此以后,用投影算法解法变分不等式问题的研究更为的了解和普遍.从60年代复,许多数值计算方法被用作解法变分不等式和涉及的优化问题,如附近点算法、交错方向法、牛顿型方法、投影算法、内点法等.因此如何结构算法来解法变分不等式问题是有一点研究的.而投影算法是解的一种非常简单的算法,[19]讲解了这种算法的一些进展.当投影算法更容易计算出来时,投影算法是解变分不等式问题比较非常简单的算法之一.由于投影算法更容易继续执行、务实,可以处置大规模问题,在解法变分不等式的近似于解中起了很大的起到,因此获得较慢发展.但诸多的投影算法都在一定程度上不存在着局限性:如算法的收敛性必须估算同构的Lipschitz常数和强劲单调模;算法的收敛性条件过于强劲;算法的搜寻方向或递归步长在解法附近渐趋零的缺点;发散速度太快等因素容许了算法的简单范围.基于以上考虑到,有适当在有数投影算法的基础上,分析它们的优点和局限,解决有数算法的诸多局限,改良有数的投影算法.因此设计一种不切实际而严格的步长准则,解决了不存在的一些局限,不作更进一步的研究是适当的.1.2变分不等式算法的国内外研究动向这种投影算法是全局发散的.它的有效性相当严重依赖Lipschitz常数L的估算和完全一致强劲单调模的值.事实上,即使是拓扑同构,估算和的值也是艰难的.Dupuis和Nagurney[3]对Goldstein和Levitin-Polyak的投影算法展开改良,用于一个预先要求的步长序列符合如下条件: .当强单调时,这种算法仍然发散,但不足之处是亚线性发散.这种算法需要解法单调变分不等式且早已由Marcotte[12]应用于到交通分配问题中,似乎,这种步长对算法的有效性产生了很大的影响.但是,假如步长完全相等0时,计算机有可能必要记作0,为了防止这种情况,有适当在步骤3中不断扩大步长来替换用于一个非快速增长步长序列.对Khobotov算法,He[7]对步骤3做出了如下的改良:1.3本文主要内容阐述本文是如下的组织的:第一章,讲解变分不等式的背景及解法变分不等式的算法的国内外研究动向;第二章,我们首先明确提出拒绝解法的问题,其次讲解一些学者早已研究过的与解法变分不等式组涉及的性质和定理,以及在后面章节中必须中用的命题或假设;第三章,我们明确提出了解法变分不等式组的两种算法;第四章,我们证明了所明确提出的两种算法的收敛性;第五章,我们辩论了所明确提出的两种算法的可行性,并得出了算法2的非常简单例子以及数值结果;第六章,对本文做出总结和未来发展.第2章 以备科学知识变分不等式问题还包括非线性有序问题（当）和非线性方程组（当）,因此在许多领域都有最重要的应用于,还包括经济,运筹学和非线性分析等.许多作者对这个问题展开了研究[2,3,7,9].第3章 变分不等式组的新的自适应投影算法第4章 收敛性分析4.1对算法1的收敛性分析4.2 对算法2的收敛性分析第5章 辩论与数值结果在本章中,我们首先辩论本文所提的两个算法的可行性并得出算法2的数值结果.算法1和算法2都是对文献[7]所明确提出的算法展开推展,解法变分不等式两组.但是由于参数自由选择有所不同,投影递归方程有所不同.算法1中投影方程组是隐式的,不但举例艰难,而且得出结论数值结果更加容易.虽然此种改良仍然证明了它具备全局收敛性,但在实际操作中,不具备可行性.尽管算法2比算法1具备很好的可行性,但有一点认为的是,此算法对更加一般的变分不等式组某种程度不限于,比如严苛单调或单调变分不等式两组.接下来,我们用本文明确提出的算法2来计算出来一个非常简单的例子.下面我们得出结构的例子:在算法2中,由定理4.2.2的证明过程由此可知,的值沉默寡言的给定有所不同而变化.因此我们在实际计算出来中,的给定是变化的,经实验检验,不管和的给定是多少,的值在的范围内过于相似1或2时,发散效果都不理想.当,分别所取0.1,0.25,0.33,0.5时,随着的值减小,递归次数大大增大,但是计算出来的结果随着的值减小,离准确解法很远.经过多次试验,找到此算法中,和的给定十分关键,当和的给定小于0.75后,发散效果很好,初值皆发散到准确解法,但递归次数随着的值减小到相似2时比较较多.当和的给定就越小时,递归次数也越多,但会发散到准确解法.第6章 结论与未来发展6.1全文总结本文主要在HeB.S.,YangH.,MengQ.,和HanD.R.的文章基础上,改良算法的参数和投影关系,明确提出2种新的算法,将其算法推展到解法变分不等式组上,并使用新的自适应投影算法,在空间中利用的强劲单调性和Lipschitz连续性,以及投影的涉及性质和定理证明了新的自适应投影算法产生的序列发散到变分不等式组的唯一解法,然后辩论了2种算法的差异,并对其中之一结构出有了非常简单的例子,得出了数值结果和图像.6.2研究未来发展由于水平受限,对变分不等式组的研究没了解和完备,在今后的自学过程中,展开更进一步研究的还有以下问问题:在空间中,更进一步改良自适应投影算法,使得变分不等式组发散速度更加慢,并结构出有更高维的例子,得出数值实验检验.将自适应投影算法解法变分不等式组问题应用于到现实生活模型中.
1.1背景讲解变分不等式所谓线性方程和非线性有序问题等一系列问题的推展,它在线性规划、网络经济、自动控制、信号与图像处理、滤波设计、经济科学、游戏理论,工程力学,系统辨识和数学规划等领域有普遍的应用于[15-18].在应用于数学中,变分不等式问题是一个非常最重要的研究课题,它不仅在非线性线性规划方面具备非常普遍的应用于,而且在力学、生物学、微分方程、工程学、经济平衡理论、对策论、社会和经济模型等方面都具有很好的应用于价值.特别是在是物理、数学和工程领域的很多问题都可以转化成为变分不等式问题来解决问题.它的明确提出使优化问题和平衡问题的研究获得了统一,并且在数学领域中作为大量数学问题实际解法的统一模型.变分不等式的广泛应用,对工程优化,经济学和交通运输的平衡问题以及数学各个领域,计算机科学等方面都做出了重大贡献.因变分不等式问题和各个领域的紧密联系,使得大量的数学工作者和经济学家对变分不等式问题的许多理论、方法、思想和技巧不作孜孜不倦的研究.近年来,关于变分不等式(VIP)的研究,在算法和理论两个方面都有很多的成果,其中算法多是借助计算机的MATLAB软件,用于各种技术和数值计算出来思想创建各种类型的明确的解法方法;而理论方面研究的则是对变分不等式的变形和推展,例如将变分不等式推展和改良为变分不等式组、拟变分不等式、单值、集值变分不等式、似变分不等式、隐变分不等式、白鱼-似变分不等式、向常态分不等式、随机变分不等式和其他各种类型的广义(或广义混合)变分不等式.投影算法是解决问题变分不等式问题的一种最重要工具.经典的变分不等式问题,由Stampacchia在1964年得出并展开了研究;同年Goldstein[5]也对变分不等式问题开始展开研究;1966年Levitin-Polyak[10]对变分不等式问题展开更进一步的研究;1966年Armijo[1]对解法非线性规划问题产生的步长准则不作了研究;1970年Martinet[11]明确提出附近点算法;1976年Rockafellar[14]得出了非准确附近点算法;1976年Korpelevich[8]在同构是广义单调的情况下明确提出外梯度投影算法;1976年Bertsekas[2]对解法非线性规划问题产生的步长准则再度不作了了解探究;1987年Khobotov[9]明确提出了一个简单的策略,设计了一个适合的步长,对Korpelevich[8]外梯度投影算法不作了更进一步的完备;1991年Güller[6]得出了Rockafellar算法中部分步骤在无限维Hilbert空间中非强劲发散的一个例子;1993年Dupuis和Nagurney[3]对Goldstein[5]和Levitin-Polyak[10]的投影算法展开改良,用于了一个预先要求的步长序列;1996年Nagurney和Zhang明确提出Nagurney-Zhang[13]投影算法;1998年Eckstein[4]认为准确解法附近点算法中的递归点十分困难,回应不作了更进一步的研究和改良;2002年He[7]改良Goldstein-Levitin-Polyak投影算法解法强劲单调变分不
等式;在文献[26]中,王等明确提出了一种解法变分不等式的外梯度算法,并在此基础上得出了变分不等式解法的不存在性判断方法.近年来,变分不等式理论早已沦为研究线性和非线性问题的有力工具.一般变分不等式[21]是经典变分不等式的一种最重要推展,在科学领域中应用于普遍[22,23],受到人们更加多的注目.而变分不等式组问题是经典变分不等式问题的推展,2001年,Vema[27]引进并辩论了非线性变分不等式组问题,在算子T是强劲单调及Lipschitzian倒数的条件下,得出了一个基于投影技巧的隐式递归算法.广义集值混合变分不等式也是经典的变分不等式的一个最重要推展,2003年在文献[25]中首次引进并辩论了它.在变分不等式问题的研究中,最重要也是最艰难的是明确提出一种不切实际并且有效地的递归算法.对变分不等式的研究很多的学者利用许多方法和有所不同的技巧（如分解成方法、辅助原理、Wiener-Hopf方程、投影类方法等）明确提出解法一般变分不等式的许多算法[21,23, 24],例如:2002年,Noor[23]结构了另外一种搜寻方向并明确提出了新的投影算法.在此以后,用投影算法解法变分不等式问题的研究更为的了解和普遍.从60年代复,许多数值计算方法被用作解法变分不等式和涉及的优化问题,如附近点算法、交错方向法、牛顿型方法、投影算法、内点法等.因此如何结构算法来解法变分不等式问题是有一点研究的.而投影算法是解的一种非常简单的算法,[19]讲解了这种算法的一些进展.当投影算法更容易计算出来时,投影算法是解变分不等式问题比较非常简单的算法之一.由于投影算法更容易继续执行、务实,可以处置大规模问题,在解法变分不等式的近似于解中起了很大的起到,因此获得较慢发展.但诸多的投影算法都在一定程度上不存在着局限性:如算法的收敛性必须估算同构的Lipschitz常数和强劲单调模;算法的收敛性条件过于强劲;算法的搜寻方向或递归步长在解法附近渐趋零的缺点;发散速度太快等因素容许了算法的简单范围.基于以上考虑到,有适当在有数投影算法的基础上,分析它们的优点和局限,解决有数算法的诸多局限,改良有数的投影算法.因此设计一种不切实际而严格的步长准则,解决了不存在的一些局限,不作更进一步的研究是适当的.1.2变分不等式算法的国内外研究动向这种投影算法是全局发散的.它的有效性相当严重依赖Lipschitz常数L的估算和完全一致强劲单调模的值.事实上,即使是拓扑同构,估算和的值也是艰难的.Dupuis和Nagurney[3]对Goldstein和Levitin-Polyak的投影算法展开改良,用于一个预先要求的步长序列符合如下条件: .当强单调时,这种算法仍然发散,但不足之处是亚线性发散.这种算法需要解法单调变分不等式且早已由Marcotte[12]应用于到交通分配问题中,似乎,这种步长对算法的有效性产生了很大的影响.但是,假如步长完全相等0时,计算机有可能必要记作0,为了防止这种情况,有适当在步骤3中不断扩大步长来替换用于一个非快速增长步长序列.对Khobotov算法,He[7]对步骤3做出了如下的改良:1.3本文主要内容阐述
本文是如下的组织的:第一章,讲解变分不等式的背景及解法变分不等式的算法的国内外研究动向;第二章,我们首先明确提出拒绝解法的问题,其次讲解一些学者早已研究过的与解法变分不等式组涉及的性质和定理,以及在后面章节中必须中用的命题或假设;第三章,我们明确提出了解法变分不等式组的两种算法;第四章,我们证明了所明确提出的两种算法的收敛性;第五章,我们辩论了所明确提出的两种算法的可行性,并得出了算法2的非常简单例子以及数值结果;第六章,对本文做出总结和未来发展.第2章 以备科学知识变分不等式问题还包括非线性有序问题（当）和非线性方程组（当）,因此在许多领域都有最重要的应用于,还包括经济,运筹学和非线性分析等.许多作者对这个问题展开了研究[2,3,7,9].第3章 变分不等式组的新的自适应投影算法第4章 收敛性分析4.1对算法1的收敛性分析4.2 对算法2的收敛性分析第5章 辩论与数值结果在本章中,我们首先辩论本文所提的两个算法的可行性并得出算法2的数值结果.算法1和算法2都是对文献[7]所明确提出的算法展开推展,解法变分不等式两组.但是由于参数自由选择有所不同,投影递归方程有所不同.算法1中投影方程组是隐式的,不但举例艰难,而且得出结论数值结果更加容易.虽然此种改良仍然证明了它具备全局收敛性,但在实际操作中,不具备可行性.尽管算法2比算法1具备很好的可行性,但有一点认为的是,此算法对更加一般的变分不等式组某种程度不限于,比如严苛单调或单调变分不等式两组.接下来,我们用本文明确提出的算法2来计算出来一个非常简单的例子.下面我们得出结构的例子:在算法2中,由定理4.2.2的证明过程由此可知,的值沉默寡言的给定有所不同而变化.因此我们在实际计算出来中,的给定是变化的,经实验检验,不管和的给定是多少,的值在的范围内过于相似1或2时,发散效果都不理想.当,分别所取0.1,0.25,0.33,0.5时,随着的值减小,递归次数大大增大,但是计算出来的结果随着的值减小,离准确解法很远.经过多次试验,找到此算法中,和的给定十分关键,当和的给定小于0.75后,发散效果很好,初值皆发散到准确解法,但递归次数随着的值减小到相似2时比较较多.当和的给定就越小时,递归次数也越多,但会发散到准确解法.第6章 结论与未来发展6.1全文总结本文主要在HeB.S.,YangH.,MengQ.,和HanD.R.的文章基础上,改良算法的参数和投影关系,明确提出2种新的算法,将其算法推展到解法变分不等式组上,并使用新的自适应投影算法,在空间中利用的强劲单调性和Lipschitz连续性,以及投影的涉及性质和定理证明了新的自适应投影算法产生的序列发散到变分不等式组的唯一解法,然后辩论了2种算法的差异,并对其中之一结构出有了非常简单的例子,得出了数值结果和图像.6.2研究未来发展由于水平受限,对变分不等式组的研究没了解和完备,在今后的自学过程中,展开更进一步研究的还有以下问问题:在空间中,更进一步改良自适应投影算法,使得变分不等式组发散速度更加慢,并结构出有更高维的例子,得出数值实验检验.将自适应投影算法解法变分不等式组问题应用于到现实生活模型中.
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